每日一题[773]层层转化

已知$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边，$BC$边上的高为$\dfrac 12a$，则$\dfrac cb$的最大值为_______．

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正确答案是$\sqrt 2+1$．

分析与解　根据题意，有

$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 14a^2=\dfrac 12bc\sin A,$$ 应用余弦定理，可得 $$b^2+c^2-2bc\cos A=2bc\sin A,$$ 于是 $$t^2+1-2t\cos A=2t\sin A,$$ 其中$t=\dfrac cb$．这样就得到了 $$2t\sin A+2t\cos A=t^2+1,$$ 于是 $$2\sqrt 2\sin \left(A+\dfrac{\pi}4\right)=t+\dfrac 1t,$$ 从而 $$t+\dfrac 1t\leqslant 2\sqrt 2,$$ 解得$t$的最大值为$\sqrt 2+1$．