每日一题[765]解三角形中的条件转化

已知$\triangle ABC$中，$\angle BAC,\angle ABC,\angle BCA$所对的边分别为$a,b,c$，$AD\perp BC$，且$AD$交$BC$于点$D$，$AD=a$，若$\dfrac {\sin^2\angle ABC+\sin^2\angle BCA+\sin^2\angle BAC}{\sin\angle ABC\cdot\sin\angle BCA}\leqslant m$恒成立，则实数$m$的取值范围为______．

答案　$[2\sqrt 2,+\infty)$．

分析与解　将题中恒成立条件用边表达为 $$\dfrac {a^2+b^2+c^2}{bc}\leqslant m$$ 恒成立，即要求左边式子的最大值．

关键是如何利用题目中的条件：$BC$边的高与$BC$的长相等，想利用高的条件可以考虑面积，即 $$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12a^2=\dfrac 12bc\sin A,$$ 于是我们得到$a^2=bc\sin A$．再由余弦定理知 $$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A,$$ 于是有 $$a^2+b^2+c^2=2bc\sin A+2bc\cos A=2\sqrt 2bc\sin\left(A+\dfrac {\pi}{4}\right),$$ 于是有 $$m\geqslant \left[2\sqrt 2\sin\left(A+\dfrac {\pi}4\right)\right]_{\max}=2\sqrt 2.$$ 当$A=\dfrac {\pi}4$时取到等号．