每日一题[86] 直角三角形的坐标表示

在三角形$ABC$中，$G$为重心，且$AG\perp BG$，$AB=2$．

（1）求$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}$的最小值；

（2）求证：$\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}$是定值．

正确答案是（1）$\dfrac 23$；（2）定值为$\dfrac 12$．

取$AB$的中点$M$，连接$CG$、$GM$，则易知$\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$．

如图建立平面直角坐标系，$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$G\left(\cos\theta,\sin\theta\right)$，$C\left(3\cos\theta,3\sin\theta\right)$．

此时有 $$\begin{split}\tan A&=\dfrac{3\sin\theta}{1+3\cos\theta},\\\tan\left(\pi-B\right)&=\dfrac{3\sin\theta}{1-3\cos\theta}.\end{split}$$

（1）根据上述结果，有 $$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{2}{3\sin\theta}\geqslant \dfrac 23,$$ 等号当且仅当$\theta=\dfrac{\pi}2$时取得．因此所求的最小值为$\dfrac{2}{3}$．

（2）根据之前的结果，有 $$\begin{split}\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}&=\left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)\cdot \tan \left[\pi-\left(A+B\right)\right]\\&=\left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)\cdot\left(-\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot\tan B}\right)\\&=\dfrac{1}{2},\end{split}$$ 为定值．