每日一题[750]等系数和线

矩形 $ABCD$中，$AB=4$，$AD=3$，$M,N$分别是线段$BC,CD$上的点，且$\dfrac 1{CM^2}+\dfrac 1{CN^2}=1$，若$\overrightarrow {AC}=x\overrightarrow {AM}+y\overrightarrow {AN}$，则$x+y$的最小值是_________．

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分析与解　$\dfrac 54$．

先分析条件中$\dfrac 1{CM^2}+\dfrac 1{CN^2}=1$的含义：

连接$MN$，去分母得到

$$CN^2+CM^2=CM^2\cdot CN^2=MN^2,$$ 于是有$CM\cdot CN=MN$，由三角形$CMN$的面积公式得到$C$到$MN$的距离为$1$，即$MN$是以$C$为圆心，$1$为半径的圆的切线（并不是所有的切线都满足条件，与矩形的边$BC,CD$有交点的才满足条件），记$MN\cap AC=C'$，如图：

由$M,N,C'$三点共线知$\overrightarrow {AC'}=x'\overrightarrow {AM}+y'\overrightarrow {AN}$，其中$x'+y'=1$．从而有$\overrightarrow {AC}=\dfrac {AC}{AC'}\cdot\overrightarrow{AC'}$得到

$$x+y=\dfrac {AC}{AC'}=\dfrac 5{AC'}.$$ 要求$x+y$的最小值即求$AC'$的最大值，由$MN$为圆$C$的切线知，当$C'$在圆$C$上时$AC'$有最大值为$5-1=4$（显然此时$M,N$存在），故所求的最小值为$\dfrac 54$．