每日一题[85] 构造递推解通项

设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，已知$a_1=1$，$a_2=6$，$a_3=11$，且

$$\left(5n-8\right)S_{n+1}-\left(5n+2\right)S_n=An+B,n=1,2,\cdots,$$ 其中$A$、$B$是常数．

（1）求$A$与$B$的值；

（2）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式．

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（1）分别令$n=1$和$n=2$可得$A=-20$，$B=-8$．

（2）根据已知，有

$$\begin{split}(5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n&=-20n-8\\(5n-3)S_{n+2}-(5n+7)S_{n+1}&=-20(n+1)-8\end{split}$$ 两式相减可得 $$(5n-3)S_{n+2}-(10n-1)S_{n+1}+(5n+2)S_n=-20,$$ 即 $$(5n-3)\left(S_{n+2}-S_{n+1}\right)-(5n+2)\left(S_{n+1}-S_{n}\right)=-20,$$ 也即 $$(5n-3)a_{n+2}-(5n+2)a_{n+1}=-20.$$

法一

将上述等式变形为

$$(5n-3)\left(a_{n+2}-4\right)-(5n+2)\left(a_{n+1}-4\right)=0,$$ 从而 $$\dfrac{a_{n+2}-4}{a_{n+1}-4}=\dfrac{5n+2}{5n-3},$$ 进而由累乘法不难得到 $$\dfrac{a_n-4}{a_1-4}=\dfrac{5n-8}{-3},$$ 因此 $$a_n=5n-4(n\in\mathcal N^*).$$

法二

由上述等式得

$$(5n+2)a_{n+3}-(5n+7)a_{n+2}=-20,$$ 两式相减得 $$(5n+2)a_{n+3}-(10n+4)a_{n+2}+(5n+2)a_{n+1}=0,$$ 即 $$\left(a_{n+3}-a_{n+2}\right)=\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right),$$ 于是数列$\left\{a_n\right\}$从第$2$项起为等差数列．

因此可得$a_n=5n-4(n\in\mathcal N^*)$．