已知函数f(x)=−x2−2x,g(x)={x+14x,x>0,x+1,x⩽0.若方程g(f(x))−a=0有4个实数解,则a的取值范围是_______.
分析与解 [1,54).
函数y=g(f(x))可以看成为函数y={t+14t,t>0,t+1,t⩽0,与函数t=−x2−2x复合而成.第一个函数的讨论分界点为t=0,12;第二个函数的讨论分界点为x=−1.因此总体的讨论分界点为x=−2,−2−√22,−1,−2+√22,0.
根据讨论的分界点,不难得到复合函数在每段上的单调性,再结合分界点处的函数值与渐近线可得复合函数的草图如下:
由图可得所求a的取值范围是[1,54).
另法 也可以直接分析内外层函数的特点求解,分别作出f(x),g(x)的图象知g(t)=a,t=g(x)都至多只有两个零点(a,t为常数),要使得方程有四个零点,则必然存在g(t1)=g(t2)=a,且有f(x1)=f(x2)=t1,f(x3)=f(x4)=t2.
所以整体零点那里 不太明白 老师能给出具体讨论步骤么