每日一题[748]复合函数的零点

已知函数f(x)=x22xg(x)={x+14x,x>0,x+1,x0.若方程g(f(x))a=04个实数解,则a的取值范围是_______.


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分析与解 [1,54)

函数y=g(f(x))可以看成为函数y={t+14t,t>0,t+1,t0,与函数t=x22x复合而成.第一个函数的讨论分界点为t=0,12;第二个函数的讨论分界点为x=1.因此总体的讨论分界点为x=2,222,1,2+22,0.
根据讨论的分界点,不难得到复合函数在每段上的单调性,再结合分界点处的函数值与渐近线可得复合函数的草图如下:
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8a%e5%8d%8810-31-14由图可得所求a的取值范围是[1,54)

另法 也可以直接分析内外层函数的特点求解,分别作出f(x),g(x)的图象知g(t)=a,t=g(x)都至多只有两个零点(a,t为常数),要使得方程有四个零点,则必然存在g(t1)=g(t2)=a,且有f(x1)=f(x2)=t1,f(x3)=f(x4)=t2

%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8a%e5%8d%8810-32-35因为f(x)1,所以t1,t2<1.而g(1)=54,所以a[1,54)

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每日一题[748]复合函数的零点》有一条回应

  1. nickbeennie说:

    所以整体零点那里 不太明白 老师能给出具体讨论步骤么

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