每日一题[745]形异神似

已知$f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$，$g(x)=\left(\dfrac 2x-1\right)\ln(x-2)+\dfrac{\ln x-1}x+1$，求证：$f(x)$的最小值与$g(x)$的最大值相等．

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分析与解　函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x\left(x^2+2x\right)-\dfrac 1x,$$ 于是其极小值点$x=m$满足 $${\rm e}^m\left(m^2+2m\right)-\dfrac 1m=0,$$ 也即 $$m+2\ln m+\ln (m+2)=0,$$ 函数$f(x)$的极小值，亦为最小值为 $$f(m)=m^2{\rm e}^m-\ln m=m^2\cdot \dfrac{1}{m^2(m+2)}-\ln m=\dfrac{1}{m+2}-\ln m.$$
另一方面，令$t=x-2>0$，函数$g(x)$的最大值即函数 $$h(x)=\dfrac{-x\ln x+\ln (x+2)+x+1}{x+2}$$ 的最大值．函数$h(x)$的导函数 $$h'(x)=-\dfrac{x+2\ln x+\ln (x+2)}{(x+2)^2}.$$
于是其极大值点$x=n$满足 $$n+2\ln n+\ln (n+2)=0,$$ 函数$h(x)$的极大值，亦为最大值为 $$\begin{split} h(n)&=\dfrac{-n\ln n+\ln (n+2)+n+1}{n+2}\\ &=\dfrac{-n\ln n+(-n-2\ln n)+n+1}{n+2}\\ &=\dfrac{1}{n+2}-\ln n.\end{split}$$
由于函数$\varphi(x)=x+2\ln x+\ln (x+2)$单调递增，于是$m=n$，进而原命题得证．