每日一题[724]数列求和

已知正项数列{an}满足a1=32a2n+1a2n=1(n+2)21n2,记数列{an}的前n项和为Sn,则1S11S3+1S51S2007+1S2009的值为______.


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分析与解 10062011

由累加法知a2n=1(n+1)2+1n2+1,

所以an=1+1n1n+1.直接求和得Sn=n+11n+1,所以1Sn=n+1n(n+2)=12(1n+1n+2).
所求的式子记为M,有2M=1+13(13+15)+(15+17)(17+19)++(12009+12011)=20122011,
所以M=10062011

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