每日一题[742]探寻边界

已知函数$f(x)=ax^2+4x-2$，当实数$a$变化时，有$\forall x\in [m,0],|f(x)|\leqslant 4$，则$m$的最小值是_______，此时$a$的值是_______．

分析与解　$-3$，$2$．

先猜到取最小值的情形，如图，有 $$\dfrac{4a\cdot(-2)-16}{4a}=-4,$$ 解得$a=2$，从而得到$m=-3$．
下面证明$-3$为$m$的最小值：

若$a=0$，容易求得$m$的最小值为$-\dfrac 12$；

若$a<0$，则$f(x)$在$[m,0]$上单调递增，因为$f(-1)=a-6<-6<-4$，所以$m>-1>-3$；

若$a>0$，存在$a$使得$m<-3$，则根据题意有 $$\begin{cases} f(-1)=a-6>-4,\\f(-3)=9a-14<4,\end{cases}$$ 解得$2<a<2$，无解，所以$m\geqslant -3$．

由上面的函数知，$-3$可以取到，所以$-3$是所求的$m$的最小值．