每日一题[735]项圈与丝带

(2011年江苏卷)设集合 $$\begin{split} A&=\left\{(x,y)\mid \dfrac m2\leqslant (x-2)^2+y^2\leqslant m^2,x,y\in\mathbb R\right\},\\ B&=\left\{(x,y)\mid 2m\leqslant x+y\leqslant 2m+1,x,y\in\mathbb R\right\},\end{split}$$ 若$A\cap B\neq \varnothing$，则实数$m$的取值范围是_________．

分析与解　$\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$．

考虑问题的反面，若$A\cap B=\varnothing$，那么：

情形一　$A=\varnothing$．此时$\dfrac m2>m^2$，即$0<m<\dfrac 12$．

情形二　$A\ne \varnothing$．当$m>\dfrac 12$时，$A$表示环形区域；当$m=\dfrac 12$时，$A$退化为一个圆圈；当$m=0$时，$A$表示一个点；当$m<0$时，$A$表示一个圆及其内部．$B$始终表示两条平行直线及之间的部分．若$A\cap B=\varnothing$，无论$A$为何种形状，皆与圆心$(2,0)$到直线$x+y=2m$与直线$x+y=2m+1$的距离均大于$|m|$等价，即 $$\begin{cases}\dfrac{|2-2m|}{\sqrt 2}>|m|,\\ \dfrac{|1-2m|}{\sqrt 2}>|m|,\end{cases}$$ 解得$m\leqslant 0$或$m>2+\sqrt 2$．

综上所述，若$A\cap B=\varnothing$，那么$m<\dfrac 12$或$m>2+\sqrt 2$．

因此所求实数$m$的取值范围是$\left[\dfrac 12,2+\sqrt 2\right]$．