每日一题[721]直线与圆

过直线$l:x+y=2$上任意点$P$向圆$C:x^2+y^2=1$作两条切线，切点分别为$A,B$．线段$AB$的中点为$Q$，则点$Q$到直线$l$的距离的取值范围是________．

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分析与解　$\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2\right)$．

法一　代数计算
设$P(m,2-m)$，则切点弦$AB$所在的直线方程为

$$mx+(2-m)y=1,$$ 直线$OQ$的方程为 $$(2-m)x-my=0,$$ 联立可解得 $$Q\left(\dfrac {m}{m^2+(2-m)^2},\dfrac {2-m}{m^2+(2-m)^2}\right).$$ 从而有点$Q$到$l$的距离 $$d=\sqrt 2\left|\dfrac 1{2(m-1)^2+2}-1\right|\in\left[\dfrac{\sqrt 2}{2},\sqrt 2\right).$$

法二　平面几何
点$A,O$分别作$QH,OQ$垂直于$l$，垂足为$H,D$，如图，有

$$\dfrac {QH}{OD}=\dfrac {PQ}{PO}.$$ 由直角三角形的射影定理知 $$PQ\cdot PO=PB^2=PO^2-1,$$ 所以有 $$QH=\sqrt 2\cdot\dfrac{PO^2-1}{PO^2}=\sqrt 2\left(1-\dfrac{1}{PO^2}\right).$$ 因为$PO\in[\sqrt 2,+\infty)$，可以得到$QH\in\left[\dfrac{\sqrt 2}{2},\sqrt 2\right)$．
事实上，$Q$点的轨迹是直线$l$对圆$C$的反演圆： $$x\left(x-\dfrac 12\right)+y\left(y-\dfrac 12\right)=0.$$