每日一题[718]“翻译”条件

已知点$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(3,m)$，以$C$为圆心作半径为$\dfrac{\sqrt {10}}3$的圆$C$．
(1) 若对线段$AB$上的任意一点$P$，均存在过$P$的直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$，求$m$的取值范围；
(2) 若线段$AB$上存在一点$P$，使过$P$的某条直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$，求$m$的取值范围．

分析与解　(1) $\left[2,\sqrt 6\right]$；(2) $\left[-\sqrt 6,4\right]$．

由题意知，点$P$一定在圆$C$的外部，我们来“翻译”条件：“过$P$的某条直线与圆$C$相交于点$M,N$($|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$”，如图：

当$PMN$与圆$C$相切时，一定有$|PM|>|MN|$；

当$PMN$与圆心$C$的距离越来越近时，$|PM|$  减小，$|MN|$增大，直到$PMN$经过圆心$C$时，$|PM|$有最小值，$|MN|$有最大值，所以上述条件翻译为： $$|PM|_{\min}=PC-r\leqslant 2r,$$ 即 $$|PC|\leqslant 3r.$$ 其中，$r$是圆$C$的半径．

(1)题意即线段$AB$上任意一点$P$到圆心$C$的距离不大于$3r$，即$C$到线段$AB$上的点的距离的最大值小于等于$3r$，这当且仅当 $$|CA|=\sqrt{9+(3-m)^2}\leqslant 3r=\sqrt {10},$$ 且 $$|CB|=\sqrt{4+m^2}\leqslant 3r=\sqrt{10},$$ 解得$m\in [2,\sqrt 6]$．

(2)题意在线段$AB$上存在一点$P$，它到点$C$的距离不大于$3r$．即$C$到线段$AB$上的点的距离的最小值小于等于$\sqrt{10}$．

先探索充分条件：

若$|CA|\leqslant 3r$或$|CB|\leqslant 3r$，此时的$m$一定满足条件，解得 $$-\sqrt 6\leqslant m\leqslant 4.$$ 若$m<-\sqrt 6$，此时$C$到线段$AB$上的点的距离的最小值为$|CB|$，显然不满足；若$m>4$，此时$C$到线段$AB$上的点的距离的最小值为$|CA|$，也不满足．

综上知$m\in[-\sqrt 6,4]$．