每日一题[708]含参不等式的处理

在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=ca_n+c^{n+1}(2n+1)$，$n\in\mathcal N^*$，其中实数$c\ne 0$．
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 若对一切$k\in\mathcal N^*$有$a_{2k}>a_{2k-1}$，求$c$的取值范围．

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分析与解　(1) 根据题意，有

$$\dfrac{a_{n+1}}{c^{n+1}}=\dfrac{a_n}{c^n}+2n+1,$$ 于是可求得$\dfrac{a_n}{c^n}=n^2-1+\dfrac 1c$，进而可得 $$a_n=\left(n^2-1\right)c^n+c^{n-1},n\in\mathcal N^*.$$

(2)题意即

$$\forall k\in\mathcal N^*,4\left(c^2-c\right)k^2+4ck-c^2+c-1>0,$$ 记$f(x)=4(c^2-c)x^2+4cx-c^2+c-1$，对称轴为$x=-\dfrac 1{2(c-1)}$，先探究必要条件：
令$k=1$得 $$f(1)=3c^2+c-1>0,$$ 解得$c>\dfrac {-1+\sqrt{13}}{6}$或$c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{6}$；

又$c^2-c\geqslant 0$，解得$c\geqslant 1$或$c\leqslant 0$，对$c=0,1$分别验证知$c\geqslant 1$或$c<0$．

于是有$c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{6}$或$c\geqslant 1$，下面证明当$c$在这个范围内时，不等式恒成立：

当$c\geqslant 1$时，$f(x)$的对称轴$x=-\dfrac 1{2(c-1)}<0$，所以$f(1)>0$可以保证当$x\geqslant 1$时，$f(x)>0$；

当$c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{6}$时，$f(x)$的对称轴$x=-\dfrac 1{2(c-1)}<\dfrac 12$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，从而$f(1)>0$可以保证当$x\geqslant 1$时，$f(x)>0$；

综上知$c$的取值范围是$\left(-\infty,-\dfrac{1+\sqrt{13}}6\right)\cup\left[1,+\infty\right)$．

思考与总结　含参的不等式问题中，变换主元、分离参数以及端点分析都是常用的方法．

注　本题为2010年重庆卷高考题．