每日一题[687]零点问题的转化

若函数f(x)=2exax2+(a2e)x有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.


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答案 (0,+)

分析与解  注意到x=1是函数f(x)的零点,而x=0不是函数f(x)的零点,于是问题等价于函数g(x)=exexx2x,x0x1,的图象与直线y=12a有两个公共点.函数g(x)的导函数g(x)=ex(x23x+1)+ex2(x2x)2=ex2(x2x)2[ex1(13x+1x2)+1].

设函数φ(x)=ex1(13x+1x2),则其导函数φ(x)=ex1(13x+4x22x3)=ex1x3(x1)(x22x+2),于是φ(x)的最小值为φ(1)=1.这样我们就得到了g(x)(,0)(0,1)(1,+)上均单调递增.显然在(,0)上,g(x)>0;在(0,1)g(x)<0;在(1,+)g(x)>0.于是当a时,函数g(x)的图象与直线y=\dfrac 12a至多只有一个公共点,不符合题意.

接下我们证明当a>0时,函数g(x)的图象与直线y=\dfrac 12a恰好有两个公共点,它们的横坐标分别位于区间(-\infty,0)(1,+\infty).证明的关键在于在每个区间上,对于任意给定的正数m,都存在比m大的函数值以及比m小的函数值.

在区间(-\infty,0)上,由于\dfrac{1}{x^2-x}<\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}x}{x^2-x}<\dfrac{1-{\rm e}x}{x^2-x},而在区间(-\infty,0)上,函数y=\dfrac{1}{x^2-x}可以取到比m大的函数值,而函数y=\dfrac{1-{\rm e}x}{x^2-x}可以取到比m小的函数值;

在区间(1,+\infty)上,一方面由{\rm e}^x-{\rm e}x>0积分两次可得\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}x}{x^2-x}>\dfrac{\dfrac 16{\rm e}x^3-{\rm e}x}{x^2-x},而在区间(1,+\infty)上,函数y=\dfrac{\dfrac 16{\rm e}x^3-{\rm e}x}{x^2-x}可以取到比m大的函数值;另一方面,在区间(1,2)上,有\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}x}{x^2-x}<\dfrac{{\rm e}x-{\rm e}}{x},而在区间(1,2)上,函数y=\dfrac{{\rm e}x-{\rm e}}{x}可以取到比m小的函数值.

综上,实数a的取值范围是(0,+\infty)

 对{\rm e}^x-{\rm e}x>0[1,x]上进行积分得\int_1^x{({\rm e}^x-{\rm e}x)}{\rm d}x={\rm e}^x-\dfrac 12{\rm e}x^2>0,再积分一次即可得到{\rm e}^x-{\rm e}x>\dfrac 16{\rm e}x^3-{\rm e}x,也可以直接证明此不等式,但积分可以得到这个不等式的样子,我们希望分子是一个三次函数.


另法 对f(x)求导得f'(x)=2{\rm e}({\rm e}^{x-1}-1)+a(1-2x),从而有f'(1)=-a,f''(x)=2({\rm e}^x-a).a\leqslant 0时,f''(x)>0f'(x)单调递增,从而f(x)最多有两个单调区间,f(x)不可能有三个不同的零点;
a>0时,f'(x)先减后增,最小值为f'(\ln a),而f'(1)=-a<0,所以f'(x)一定有两个零点,记为m,n,且有m<1<n
而当x\to -\infty时,f'(x)可以取到正数;x\to+\infty时,f'(x)可以取到正数(严格来说,需要对{\rm e}^x进行放缩以证明或者取出特殊点,同原题方法).所以f(x)(-\infty,m)上单调递增,在(m,n)上单调递减,在(n,+\infty)上单调递增,而f(1)=0,所以f(m)>0,f(n)<0,而f(x)x\to-\infty时可以取到负值,在x\to+\infty时可以取到正数(仍然需要严格处理函数,同原题方法),所以此时f(x)一定有三个零点,所以a的取值范围是(0,+\infty)

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