若函数f(x)=2ex−ax2+(a−2e)x有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
答案 (0,+∞).
分析与解 注意到x=1是函数f(x)的零点,而x=0不是函数f(x)的零点,于是问题等价于函数g(x)=ex−exx2−x,x≠0∧x≠1,的图象与直线y=12a有两个公共点.函数g(x)的导函数g′(x)=ex(x2−3x+1)+ex2(x2−x)2=ex2(x2−x)2⋅[ex−1(1−3x+1x2)+1].
设函数φ(x)=ex−1(1−3x+1x2),则其导函数φ′(x)=ex−1(1−3x+4x2−2x3)=ex−1x3(x−1)(x2−2x+2),于是φ(x)的最小值为φ(1)=−1.这样我们就得到了g(x)在(−∞,0),(0,1),(1,+∞)上均单调递增.显然在(−∞,0)上,g(x)>0;在(0,1)上g(x)<0;在(1,+∞)上g(x)>0.于是当a⩽时,函数g(x)的图象与直线y=\dfrac 12a至多只有一个公共点,不符合题意.
接下我们证明当a>0时,函数g(x)的图象与直线y=\dfrac 12a恰好有两个公共点,它们的横坐标分别位于区间(-\infty,0)和(1,+\infty).证明的关键在于在每个区间上,对于任意给定的正数m,都存在比m大的函数值以及比m小的函数值.
在区间(-\infty,0)上,由于\dfrac{1}{x^2-x}<\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}x}{x^2-x}<\dfrac{1-{\rm e}x}{x^2-x},而在区间(-\infty,0)上,函数y=\dfrac{1}{x^2-x}可以取到比m大的函数值,而函数y=\dfrac{1-{\rm e}x}{x^2-x}可以取到比m小的函数值;
在区间(1,+\infty)上,一方面由{\rm e}^x-{\rm e}x>0积分两次可得\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}x}{x^2-x}>\dfrac{\dfrac 16{\rm e}x^3-{\rm e}x}{x^2-x},而在区间(1,+\infty)上,函数y=\dfrac{\dfrac 16{\rm e}x^3-{\rm e}x}{x^2-x}可以取到比m大的函数值;另一方面,在区间(1,2)上,有\dfrac{{\rm e}^x-{\rm e}x}{x^2-x}<\dfrac{{\rm e}x-{\rm e}}{x},而在区间(1,2)上,函数y=\dfrac{{\rm e}x-{\rm e}}{x}可以取到比m小的函数值.
综上,实数a的取值范围是(0,+\infty).
注 对{\rm e}^x-{\rm e}x>0在[1,x]上进行积分得\int_1^x{({\rm e}^x-{\rm e}x)}{\rm d}x={\rm e}^x-\dfrac 12{\rm e}x^2>0,再积分一次即可得到{\rm e}^x-{\rm e}x>\dfrac 16{\rm e}x^3-{\rm e}x,也可以直接证明此不等式,但积分可以得到这个不等式的样子,我们希望分子是一个三次函数.
另法 对f(x)求导得f'(x)=2{\rm e}({\rm e}^{x-1}-1)+a(1-2x),从而有f'(1)=-a,f''(x)=2({\rm e}^x-a).当a\leqslant 0时,f''(x)>0,f'(x)单调递增,从而f(x)最多有两个单调区间,f(x)不可能有三个不同的零点;
当a>0时,f'(x)先减后增,最小值为f'(\ln a),而f'(1)=-a<0,所以f'(x)一定有两个零点,记为m,n,且有m<1<n.
而当x\to -\infty时,f'(x)可以取到正数;x\to+\infty时,f'(x)可以取到正数(严格来说,需要对{\rm e}^x进行放缩以证明或者取出特殊点,同原题方法).所以f(x)在(-\infty,m)上单调递增,在(m,n)上单调递减,在(n,+\infty)上单调递增,而f(1)=0,所以f(m)>0,f(n)<0,而f(x)在x\to-\infty时可以取到负值,在x\to+\infty时可以取到正数(仍然需要严格处理函数,同原题方法),所以此时f(x)一定有三个零点,所以a的取值范围是(0,+\infty).