每日一题[80]利用向量处理外心

据说这是2015年高三泰州二模的第14题．

在三角形$ABC$中，$D$为边$AC$上一点，$AB=AC=6$，$AD=4$，若三角形$ABC$的外心$O$恰在线段$BD$上，则$BC=$_______．

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设$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\left(1-\lambda\right)\overrightarrow{AD}$，根据题意可知

$$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(1-\lambda\right)\overrightarrow{AC},$$ 考虑到三角形$ABC$为等腰三角形，于是 $$\lambda=\dfrac{2}{3}\left(1-\lambda\right),$$ 解得 $$\lambda=\dfrac 25,$$ 因此有 $$\overrightarrow{AO}=\dfrac 25\overrightarrow{AB}+\dfrac 25\overrightarrow{AC},$$ 两边对$\overrightarrow{AB}$作数量积，有 $$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac 25\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\dfrac 25\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB},$$ 由此不难解得 $$\cos A=\dfrac 14,$$ 进而由余弦定理得 $$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A=54,$$ 于是 $$BC=3\sqrt 6.$$