每日一题[684]一条绳上的蚂蚱

2011年高考北京卷理科数学第8题:

A(0,0)B(4,0)C(t+4,4)D(t,4)(tR).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不包含边界)的整点的个数,其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域是________.


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分析与解 {9,11,12}

如图,设直线y=1y=2y=3,分别被平行四边形截得的线段为A1B1,A2B2,A3B3%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-09-%e4%b8%8b%e5%8d%8812-32-38根据题意,N(t)就是线段A1B1,A2B2,A3B3上(不包含端点)的整点个数之和.区间(m,m+4)(mR)内的整点个数f(m)={3,mZ,4,mZ.而点A1,A2,A3的横坐标分别为14t,12t,34t,于是N(t)=f(14t)+f(12t)+f(34t).①当14t,12t,3t4Z时,N(t)=9,此时t0(mod4),即t4的整数倍;

②因为12t+14t=34t,所以14t,12t,34t中不可能恰有两个整数,但可能仅有一个是整数,如t=2,此时N(t)=3+4+4=11

事实上,当t2(mod4),即t=4k+2,kZ时,14t,12t,34t中恰有一个是整数;当t=43k,且tZ时,14t,12t,34t中也恰有一个是整数.

③如果14t,12t,34tZ时,N(t)=12

综上知,函数N(t)的值域是{9,11,12}

 本题原为选择题,省略了选项.

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