2011年高考北京卷理科数学第8题:
设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不包含边界)的整点的个数,其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域是________.
分析与解 {9,11,12}.
如图,设直线y=1,y=2,y=3,分别被平行四边形截得的线段为A1B1,A2B2,A3B3.根据题意,N(t)就是线段A1B1,A2B2,A3B3上(不包含端点)的整点个数之和.区间(m,m+4)(m∈R)内的整点个数f(m)={3,m∈Z,4,m∉Z.而点A1,A2,A3的横坐标分别为14t,12t,34t,于是N(t)=f(14t)+f(12t)+f(34t).①当14t,12t,3t4∈Z时,N(t)=9,此时t≡0(mod4),即t为4的整数倍;
②因为12t+14t=34t,所以14t,12t,34t中不可能恰有两个整数,但可能仅有一个是整数,如t=2,此时N(t)=3+4+4=11.
事实上,当t≡2(mod4),即t=4k+2,k∈Z时,14t,12t,34t中恰有一个是整数;当t=43k,且t∉Z时,14t,12t,34t中也恰有一个是整数.
③如果14t,12t,34t∉Z时,N(t)=12.
综上知,函数N(t)的值域是{9,11,12}.
注 本题原为选择题,省略了选项.