每日一题[682]化复杂计算于无形

设动直线$y=kx+m(k,m\in\mathcal{Z})$与椭圆$\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$A,B$，与双曲线$\dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$C,D$，且$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {0}$，则符合条件的直线共有______条．

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分析与解　答案是$9$．

由$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {0}$知$AB$与$CD$的中点重合，记为$M(x_0,y_0)$．由椭圆与双曲线的垂径定理知，当$k\ne 0$且$x_0\ne 0$时，有

$$k\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-\dfrac {12}{16}=\dfrac {12}{4},$$ 无解，所以只可能有$k=0$或$x_0=y_0=0$．

当$k=0$时，有$m\in(-2\sqrt 3,2\sqrt 3)$，所以$m=\pm 3,\pm 2,\pm 1,0$；

当$k\ne 0$时，直线过原点，所以$m=0$，结合双曲线的渐近线为$y=\pm\sqrt 3x$知，$k=\pm 1$．

综上知，存在$9$条直线满足要求．