每日一题[79] 边角互化

证明：若$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C<2$，则三角形$ABC$为钝角三角形．

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方法一

我们熟知三角形$ABC$中

$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2\cos A\cos B\cos C,$$ 于是已知条件即 $$\cos A\cos B\cos C<0,$$ 原命题得证．

方法二

根据题意有

$$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C>1,$$ 由余弦定理，得 $$\sum_{cyc}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2>1,$$ 去分母得 $$\sum_{cyc}\left[a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\right]>4a^2b^2c^2.$$

注意到当三角形$ABC$为直角三角形时该不等式取得等号，于是上式可以因式分解为

$$\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(-a^2+b^2+c^2\right)<0,$$ 因此左边的三个因式中必然存在一个负因式，于是三角形$ABC$为钝角三角形．

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2015年4月17日补充一道练习题．

已知三角形$ABC$中$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=b$，求$B$．

答案为$B=\dfrac{\pi}3$．

提示    题中条件等价于

$$\left(b^2+ac-a^2-c^2\right)\left(b+a+c\right)=0.$$