每日一题[79] 边角互化

证明：若\(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C<2\)，则三角形\(ABC\)为钝角三角形．

方法一

我们熟知三角形\(ABC\)中\[\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2\cos A\cos B\cos C,\]于是已知条件即\[\cos A\cos B\cos C<0,\]原命题得证．

方法二

根据题意有\[\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C>1,\]由余弦定理，得\[\sum_{cyc}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2>1,\]去分母得\[\sum_{cyc}\left[a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\right]>4a^2b^2c^2.\]

注意到当三角形\(ABC\)为直角三角形时该不等式取得等号，于是上式可以因式分解为\[\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(-a^2+b^2+c^2\right)<0,\]因此左边的三个因式中必然存在一个负因式，于是三角形\(ABC\)为钝角三角形．

2015年4月17日补充一道练习题．

已知三角形\(ABC\)中\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=b\)，求\(B\)．

答案为\(B=\dfrac{\pi}3\)．

提示    题中条件等价于\[\left(b^2+ac-a^2-c^2\right)\left(b+a+c\right)=0.\]