每日一题[670]焦半径公式的应用

设$F$为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左焦点，在$x$轴上$F$点的右侧有一点$A$，以$FA$为直径的圆与双曲线左、右两支在$x$轴上方的交点分别为$M,N$，则$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=$_______．

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分析与解　如图．
焦半径公式II　设$\angle MFA=\alpha$，$\angle NFA=\beta$，则

$$|FM|=\dfrac{b^2}{c\cos\alpha+a},|FN|=\dfrac{b^2}{c\cos\beta-a},$$ 两式相比可得 $$\dfrac{|FM|}{|FN|}=\dfrac{c\cdot \dfrac{|FN|}{|FA|}-a}{c\cdot \dfrac{|FM|}{|FA|}+a}=\dfrac{c|FN|-a|FA|}{c|FM|+a|FA|},$$ 即 $$c|FM|^2+a|FA|\cdot |FM|=c|FN|^2-a|FA|\cdot |FN|,$$ 也即 $$\left(|FM|+|FN|\right)\cdot\left(c|FM|-c|FN|+a|FA|\right)=0,$$ 从而可得 $$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac ac.$$

焦半径公式I　设$A(m,0)$($m>-c$)，由圆的直径式方程可得以$FA$为直径的圆的方程为

$$(x+c)(x-m)+y^2=0.$$ 设$M,N$的横坐标分别为$x_1,x_2$，则由焦半径公式，有 $$|FM|=-\dfrac cax_1-a,|FN|=\dfrac cax_2+a,$$ 于是 $$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{\dfrac ca\left(x_1+x_2\right)+2a}{m+c}.$$ 联立圆的方程与双曲线方程，有 $$\dfrac{c^2}{a^2}x^2+(c-m)x-cm-b^2=0,$$ 于是 $$x_1+x_2=\dfrac{a^2(m-c)}{c^2},$$ 代入上式，可得 $$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{\dfrac ca\cdot \dfrac{a^2(m-c)}{c^2}+2a}{m+c}=\dfrac ac.$$

注　焦半径公式在方法技巧中有专门介绍．