每日一题[664]射影的位置

已知实数$a,b,c$成等差数列($a,b$不全为$0$)，点$A(0,-3)$在直线$ax+by+c=0$上的射影为$M$，点$N(2,3)$，则$|MN|$的最大值为_______．

分析与解　代数计算
设$M(x,y)$，则 $$\begin{cases} \overrightarrow {AM}\parallel (a,b),\\ax+by+c=0,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} bx-ay=3a,\\ ax+by=a-2b,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} x=\dfrac{a^2+ab}{a^2+b^2},\\ y=\dfrac{-3a^2+ab-2b^2}{a^2+b^2},\end{cases}$$ 不妨设$a=r\sin\theta$，$b=r\cos\theta$，其中$r\ne 0$，则有 $$\begin{cases} x=\dfrac{1-\cos2\theta}2+\dfrac 12\sin 2\theta,\\ y=-\dfrac{3(1-\cos 2\theta)}2-\left(1+\cos 2\theta\right)+\dfrac 12\sin2\theta,\end{cases}$$ 整理得 $$\begin{cases} x-\dfrac 12=\dfrac 12\sin 2\theta-\dfrac 12\cos 2\theta,\\ y+\dfrac 52=\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12\sin 2\theta,\end{cases}$$ 这样就有 $$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 52\right)^2=\dfrac 12,$$ 进而可得$|MN|$的最大值为 $$\sqrt{\left(2-\dfrac 12\right)^2+\left(3+\dfrac 52\right)^2}+\sqrt{\dfrac 12}=\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2.$$
几何性质
$2b=a+c$等价于直线恒过点$T(1,-2)$．注意到$AM\perp TM$，于是$M$在以$AT$为直径的圆上．圆心坐标为$B\left(\dfrac 12,-\dfrac 52\right )$，半径为$r=\dfrac 12|AT|=\dfrac{\sqrt 2}{2}$．于是$|MN|$的最大值为 $$|BN|+r=\sqrt{\left(2-\dfrac 12\right)^2+\left(3+\dfrac 52\right)^2}+\sqrt{\dfrac 12}=\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2.$$