已知$a,b,c>0$，则$\max\left\{\dfrac{1}{ac}+b,\dfrac 1a+bc,\dfrac ab+c\right\}$的最小值为_______．
分析与解 考虑到\[\begin{split}\max\left\{\dfrac{1}{ac}+b,\dfrac 1a+bc,\dfrac ab+c\right\}&\geqslant \max\left\{\dfrac{1}{ac}+b,\dfrac ab+c\right\}\\
&\geqslant \dfrac{\dfrac 1{ac}+b+\dfrac ab+c}{2}\\
&\geqslant 2\left(\dfrac 1{ac}\cdot b\cdot \dfrac ab\cdot c\right)^{\frac 14}\\
&=2,\end{split} \]而等号当$a=b=c=1$时可以取得．因此所求的最小值为$2$．
最后给出两道练习：
练习 (1) 已知$x,y\in\mathcal R$，则$\max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}$的最小值是_______．
(2) 设实数$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\geqslant 1$，且$x_1x_2x_3x_4x_5=729$，则$\max\{x_1x_2,x_2x_3,x_3x_4,x_4x_5\}$的最小值是_______．
(1) 根据题意，有\[\begin{split} \max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}&\geqslant \dfrac {x^2+xy+x+4y^2+xy+2y}2\\
&=\dfrac{\left(x+y+\dfrac 12\right)^2+3\left(y+\dfrac 16\right)^2-\dfrac 13}2\\
&\geqslant -\dfrac 16
,\end{split} \]等号当$x=-\dfrac 13$，$y=-\dfrac 16$时取得，因此所求最小值为$-\dfrac 16$．
(2) 考虑到\[\begin{split} \max\{x_1x_2,x_2x_3,x_3x_4,x_4x_5\}&\geqslant \max\{x_1x_2,x_3x_4,x_4x_5\}\\&\geqslant (x_1x_2x_3x_4^2x_5)^{\frac 13}\\
&=\left(729x_4\right)^{\frac 13}\\
&\geqslant 9,\end{split} \]而等号当$x_1=x_3=x_5=9$，$x_2=x_4=1$时可以取得．因此所求的最小值为$9$．