每日一题[634]复数模长的最值

已知复数$z_1,z_2$满足$|z_1+z_2|=20$，$|z_1^2+z_2^2|=16$，则$|z_1^3+z_2^3|$的最小值是_____．

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分析与解　根据题意，有

$$\begin{split} |z_1^3+z_2^3|&=\left|(z_1+z_2)(z_1^2-z_1z_2+z_2^2)\right|\\ &=\left|(z_1+z_2)\cdot \dfrac{3(z_1^2+z_2^2)-(z_1+z_2)^2}2\right|\\ &\geqslant |z_1+z_2|\cdot \dfrac {|z_1+z_2|^2-3|z_1^2+z_2^2|}2\\ &=3520,\end{split}$$ 等号当$(z_1+z_2)^2$与$z_1^2+z_2^2$同向时取到．因此所求的最小值为$3520$．

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注　等号取到时，$z_1z_2$与$z_1^2+z_2^2$共线，从而有$(z_1+z_2)^2$与$(z_1-z_2)^2$共线，所以$z_1+z_2$与$z_1-z_2$共线或垂直．
如果$z_1+z_2$与$z_1-z_2$共线，那么可以得到$z_1,z_2$共线，容易证明此时无解；
如果$z_1+z_2$与$z_1-z_2$垂直，那么$|z_1|=|z_2|$，从而设

$$z_1=r(\cos\alpha+{\mathrm i}\sin\alpha),z_2=r(\cos\beta+{\mathrm i}\sin\beta),r>0$$

代入条件中整理得

$$\begin{cases} r\cdot\sqrt{2+2\cos(\alpha -\beta)}=20,\\r^2\sqrt{2+2\cos(2\alpha -2\beta)}=16.\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} r=8\sqrt 3,\\\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{24},\end{cases} \ \text{或}\ \begin{cases} r=4\sqrt{13},\\ \cos(\alpha-\beta)=-\dfrac{1}{26}.\end{cases}$$ 验证知，前者对应$|z_1^3+z_2^3|$的最小值，后者对应$|z_1^3+z_2^3|$的最大值$4480$．
可以对$z_1,z_2$进行具体取值，比如取$\beta=0$，得到 $$z_1=8\sqrt 3\left(\dfrac{1}{24}\pm\dfrac{5\sqrt{23}}{24}{\mathrm i}\right),z_2=8\sqrt 3.$$ 就是$|z_1^3+z_2^3|$取最小值时的一组解．同样地 $$z_1=4\sqrt{13}\left(-\dfrac 1{26}\pm\dfrac {15\sqrt{3}}{26}{\mathrm i}\right ),z_2=4\sqrt{13}.$$ 就是$|z_1^3+z_2^3|$取最大值时的一组解．