每日一题[633]椭圆的第二定义

设椭圆的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，线段$PQ$是过左焦点$F$且不与$x$轴垂直的焦点弦．若在左准线上存在点$R$，使$\triangle PQR$为正三角形，求椭圆的离心率$e$的取值范围，并用$e$表示直线$PQ$的斜率．

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分析与解　如图，设弦$PQ$的中点为$M$，$P,Q,M$在左准线上的投影分别为$P_1,Q_1,M_1$．  设$|PP_1|=m$，$|QQ_1|=n$，则$|PF|=em$，$|QF|=en$，根据题意，有

$$|RM|=\dfrac{\sqrt 3}2|PQ|=\dfrac{\sqrt 3}2(m+n)e,$$ 于是由$|RM|>|M_1M|$（因为$PQ$不垂直于$x$轴）可得 $$\dfrac{\sqrt 3}2(m+n)e>\dfrac 12(m+n),$$ 从而可得椭圆的离心率的取值范围是$\left(\dfrac{\sqrt 3}3,1\right)$．

设直线$PQ$的倾斜角大小为$\theta$，则

$$\sin\theta=\cos\angle RMM_1=\dfrac{|M_1M|}{|RM|}=\dfrac{1}{e\sqrt 3},$$ 于是直线$PQ$的斜率为 $$\tan\theta=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3e^2-1}}.$$

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最后给出一道练习：

已知椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$的左焦点为$F$，过左准线上一点$C$作直线交椭圆于$A,B$两点，$\triangle ABF$是以$B$为直角的等腰直角三角形，则$\tan \angle FCA$的值是_______．答案　$\sqrt 2-1$．