每日一题[631]函数最值

设函数$f(x)=\dfrac{a^2+a\sin x+2}{a^2+a\cos x+2}$($x\in \mathcal R$)的最大值为$M(a)$，最小值为$m(a)$，则（　　）

A．$\forall a\in\mathcal R,M(a)\cdot m(a)=1$
B．$\forall a\in\mathcal R,M(a)+m(a)=2$
C．$\exists a\in \mathcal R,M(a)+m(a)=1$
D．$\exists a\in\mathcal R,M(a)\cdot m(a)=2$

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分析与解　法一　注意到$f(x)$的分子与分母均恒正，因此$M(a)\geqslant m(a)>0$，又

$$f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\dfrac{a^2+a\cos x+2}{a^2+a\sin x+2}=\dfrac{1}{f(x)},$$ 而函数$f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)$与函数$f(x)$的最大值与最小值相同，因此必然有$M(a)\cdot m(a)=1$．

法二　当$a=0$时，$M(a)=m(a)=1$；

当$a\ne 0$时，有

$$f(x)=\dfrac{\sin x-\left[-\left(a+\dfrac 2a\right)\right]}{\cos x -\left[-\left(a+\dfrac 2a\right)\right]},$$ 设点$A\left(\cos x,\sin x\right)$，$B\left(-\left(a+\dfrac 2a\right),-\left(a+\dfrac 2a\right)\right)$，则$f(x)$的几何意义即直线$AB$的斜率．点$A$为单位圆上的动点，点$B$为两条射线上的定点，根据图形的对称性可得$M(a)\cdot m(a)=1$． 

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最后给出一道练习：

已知$f(x)=x+\dfrac 1x$在$x\in (0,+\infty)$上存在最小值$m$，求$m$的值．

答案　$2$

提示　考虑函数$f^2(x)=f(x^2)+2$，因此有$m^2=m+2$，解得$m=2$．