每日一题[630]消元

已知A,B[0,π],则[sinA+sin(A+B)]sinB的最大值是______.


cover分析与解 原式即sinAsinB+sinAsinBcosB+cosAsin2B=(sinB+sinBcosB)sinA+sin2BcosA(sinB+sinBcosB)2+sin4B=2sin2B(1+cosB)=(22cosB)(1+cosB)(1+cosB)(43)3=839,等号当{sinAcosA=1+cosBsinB,22cosB=1+cosB,tanA=2cosB=13时取得.因此所求的最大值为839


下面给出一道练习:

(1) 已知x,yR,则cos(x+y)+4cosx+4cosy的最小值是______;
(2) 已知x,yR,则9cos2x9sin(x+y)+sin(xy)+17的取值范围是_______.

 (1) 原式即(sinx)siny+(cosx+4)cosy+4cosxsin2x+(cosx+4)2+4cosx,接下来计算右侧函数y=17+8cosx+4cosx的最小值即可,令t=17+8cosxt[3,5],则y=12t2t172,于是当t=3时,该函数取得最小值为7.此时cosx=1,cosy=1

(2) 原式即9cos2x+178sinxcosy10cosxsiny,其最小值和最大值分别为9cos2x+1764+36cos2x,9cos2x+17+64+36cos2x,t=64+36cos2xt[8,10],问题转化为求二次函数的值域,可得所求取值范围是[9,36]

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