每日一题[630]消元

已知$A,B\in [0,\pi]$，则$\left[\sin A+\sin (A+B)\right]\cdot \sin B$的最大值是______．

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分析与解　原式即

$$\begin{split} &\sin A\sin B+\sin A\sin B\cos B+\cos A\sin^2B \\=&(\sin B+\sin B\cos B)\cdot \sin A+\sin^2B\cdot \cos A\\ \leqslant &\sqrt{(\sin B+\sin B\cos B)^2+\sin^4B}\\ =&\sqrt{2\sin ^2B(1+\cos B)}\\ =&\sqrt{(2-2\cos B)(1+\cos B)(1+\cos B)}\\ \leqslant &\sqrt{\left(\dfrac 43\right)^3}=\dfrac{8\sqrt 3}9,\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} \dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{1+\cos B}{\sin B},\\ 2-2\cos B=1+\cos B,\end{cases}$$ 即$\tan A=\sqrt 2$且$\cos B=\dfrac 13$时取得．因此所求的最大值为$\dfrac{8\sqrt 3}9$．

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下面给出一道练习：

(1) 已知$x,y\in\mathcal R$，则$\cos(x+y)+4\cos x+4\cos y$的最小值是______；
(2) 已知$x,y\in\mathcal R$，则$9\cos^2x-9\sin(x+y)+\sin (x-y)+17$的取值范围是_______．

解　(1) 原式即

$$(-\sin x)\cdot \sin y+(\cos x+4)\cos y+4\cos x\geqslant -\sqrt{\sin^2x+(\cos x+4)^2}+4\cos x,$$ 接下来计算右侧函数$y=-\sqrt{17+8\cos x}+4\cos x$的最小值即可，令$t=\sqrt{17+8\cos x}$，$t\in [3,5]$，则 $$y=\dfrac 12t^2-t-\dfrac{17}2,$$ 于是当$t=3$时，该函数取得最小值为$-7$．此时$\cos x=-1,\cos y=-1$．

(2) 原式即

$$9\cos^2x+17-8\sin x\cdot \cos y-10\cos x\cdot \sin y,$$ 其最小值和最大值分别为 $$9\cos^2x+17-\sqrt{64+36\cos ^2x},9\cos^2x+17+\sqrt{64+36\cos ^2x},$$ 令$t=\sqrt{64+36\cos^2x}$，$t\in [8,10]$，问题转化为求二次函数的值域，可得所求取值范围是$[9,36]$．