已知A,B∈[0,π],则[sinA+sin(A+B)]⋅sinB的最大值是______.
分析与解 原式即sinAsinB+sinAsinBcosB+cosAsin2B=(sinB+sinBcosB)⋅sinA+sin2B⋅cosA⩽√(sinB+sinBcosB)2+sin4B=√2sin2B(1+cosB)=√(2−2cosB)(1+cosB)(1+cosB)⩽√(43)3=8√39,等号当{sinAcosA=1+cosBsinB,2−2cosB=1+cosB,即tanA=√2且cosB=13时取得.因此所求的最大值为8√39.
下面给出一道练习:
(1) 已知x,y∈R,则cos(x+y)+4cosx+4cosy的最小值是______;
(2) 已知x,y∈R,则9cos2x−9sin(x+y)+sin(x−y)+17的取值范围是_______.
解 (1) 原式即(−sinx)⋅siny+(cosx+4)cosy+4cosx⩾−√sin2x+(cosx+4)2+4cosx,接下来计算右侧函数y=−√17+8cosx+4cosx的最小值即可,令t=√17+8cosx,t∈[3,5],则y=12t2−t−172,于是当t=3时,该函数取得最小值为−7.此时cosx=−1,cosy=−1.
(2) 原式即9cos2x+17−8sinx⋅cosy−10cosx⋅siny,其最小值和最大值分别为9cos2x+17−√64+36cos2x,9cos2x+17+√64+36cos2x,令t=√64+36cos2x,t∈[8,10],问题转化为求二次函数的值域,可得所求取值范围是[9,36].