每日一题[76] 正方体中的不变量

在正方体$ABCD-A'B'C'D'$中，若点$P$（异于点$B$）是棱上一点，则满足$BP$和$AC'$所成的角为$45^\circ$的点$P$的个数为______．

正确答案是$3$． 如图，当动点$M$在直线上运动时，直线$PM$与某固定方向所成的角会先由$0\circ$（无法取得）增大到$90^\circ$然后减小到$0^\circ$（无法取得）． 于是我们可以将正方体的各个顶点（除$B$点外）染色，当顶点与$B$的连线与直线$AC'$所成的角大于等于$45^\circ$时染为红色，否则染为蓝色，如下图． 当某条棱的两个端点为一红一蓝时，根据零点的存在性定理与之前的论述，该棱上存在唯一一个符合题意的点；当某条棱的两个端点均为红色时，该棱上不存在符合题意的点；当某条棱的两个端点均为蓝色时，需要仔细考虑． 综上，符合题意的点共有$3$个，分别位于棱$B'C'$、$CC'$、$C'D'$上．