每日一题[624]消元与转化

证明：$(x,y)=(1,2)$是方程组$\begin{cases} x(x+y)^2=9,\\ x(y^3-x^3)=7,\end{cases}$的唯一的实数解．

分析与证明　根据题意，显然有$y>x>0$，从而由第一个方程可得$y=\dfrac{3}{\sqrt x}-x$，代入第二个方程有 $$x\left[\left(\dfrac{3}{\sqrt x}-x\right)^3-x^3\right]=7,$$ 令$\sqrt x=m$并整理得 $$2m^9-9m^6+27m^3+7m-27=0,$$ 即 $$(m-1)(2m^8+2m^7+2m^6-7m^5-7m^4-7m^3+20m^2+20m+27)=0,$$ 由均值不等式有 $$\begin{split} &(2m^8+20m^2)+(2m^7+20m)+(2m^6+27)\\\geqslant& 2\sqrt{40}m^5+2\sqrt{40}m^4+2\sqrt{54}m^3,\end{split}$$ 因此关于$m$的方程有且只有实数根$m=1$，进而原命题得证．

注　事实上，均值不等式处也可以通过分析$m$的范围直接得到．

由方程组知$y>x>0$，从而有$9>x(x+x)^2=4x^3$，所以有 $$0<m^3=\sqrt{x^3}<\dfrac 32.$$ 从而 $$\begin{split} &27-7m^3>0,\\&20m-7m^4=m(20-7m^3)>0,\\&20m^2-7m^5=m^2(20-7m^3)>0.\end{split}$$ 得到那个$8$次方程无实数解．