每日一题[621]花落谁家

已知函数

$$f\left(x\right)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2017}}{2017},$$ 函数 $$g\left(x\right)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2017}}{2017}.$$ 设 $F\left(x\right)=f\left(x+3\right)\cdot g\left(x-3\right)$，且函数 $F\left(x\right)$ 的零点在区间 $\left[a,b\right]\left(a<b,a,b\in\mathcal Z\right)$ 内，则 $b-a$ 的最小值为_______．

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分析与解　设函数

$$h(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2017}}{2017},$$ 则$f(x)=1+h(x)$，$g(x)=1-h(x)$．因此只需要考虑函数$h(x)$的图象与直线$y=1$以及$y=-1$的公共点的横坐标的范围．函数$h(x)$的导函数 $$\begin{split} h'(x)=&1-x+x^2-x^3+\cdots +x^{2016}\\=&\begin{cases} \dfrac{1+x^{2017}}{1+x},&x\ne -1,\\ 2017,&x=-1,\end{cases}\end{split}$$ 因此在$\mathcal R$上，函数$h(x)$单调递增．而 $$\begin{split} &h(-1)=-1-\dfrac 12-\dfrac 13-\dfrac 14-\cdots -\dfrac 1{2017}\in (-\infty,-1),\\ &h(0)=0,\\ &h(1)=1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\cdots +\dfrac 1{2017}\in (0,1),\\ &h(2)=2+2^2\left(-\dfrac 12+\dfrac 23\right)+2^4\left(-\dfrac 14+\dfrac 25\right)+\cdots +2^{2016}\left(-\dfrac{1}{2016}+\dfrac{2}{2017}\right)\in (2,+\infty)\end{split}$$ 因此函数$f(x)$的零点位于$(-1,0)$内，函数$g(x)$的零点位于$(1,2)$内，进而函数$F(x)$的零点分别位于$(-4,-3)$和$(4,5)$内，于是$b-a$的最小值为$9$．