每日一题[615]巧转化　妙反证

已知$3^a+13^b=17^a$，$5^a+7^b=11^b$，判断实数$a,b$的大小关系．

分析　考虑到$a,b$都约等于$1$，当$a=b=1$时，$3^a+13^b=16<17^a$，因此需要将$a,b$同时略微调大一点(否则第二个等式会出问题)，由于$17>11$，因此对$a$的调整幅度会比对$b$的调整幅度略小一点，猜测$b>a$．

论证　用反证法，若$a\geqslant b$，则 $$\begin{cases} 13^a\geqslant 13^b=17^a-3^a,\\ 5^b\leqslant 5^a=11^b-7^b,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} \left(\dfrac{13}{17}\right)^a+\left(\dfrac{3}{17}\right)^a\geqslant 1,\\ \left(\dfrac{5}{11}\right)^b+\left(\dfrac{7}{11}\right)^b\leqslant 1,\end{cases}$$ 由于 $$f(x)=\left(\dfrac{13}{17}\right)^x+\left(\dfrac{3}{17}\right)^x$$ 以及 $$g(x)=\left(\dfrac{5}{11}\right)^x+\left(\dfrac{7}{11}\right)^x$$ 均为$\mathcal R$上的单调递减函数，因此由 $$\begin{cases}f(a)\geqslant 1>f(1),\\ g(b)\leqslant 1<g(1),\end{cases}$$ 可得$a<1<b$，矛盾．

综上所述，$a<b$．

验证　事实上利用mathematica可知，$a\approx 1.0578$，$b\approx 1.1006$，于是$a<b$．

最后给出一道练习：

设函数$f(x)=a^x+b^x-c^x$，其中$a,b,c$是某个三角形的三边长，且$c$为最大边边长．有下列命题：
(1) 对任意$x<1$，均有$f(x)>0$；
(2) 存在实数$x$，使得$a^x,b^x,c^x$不是任何一个三角形的三边长；
(3) 若$a,b,c$是某个钝角三角形的三边长，则存在$x\in (1,2)$，使得$f(x)=0$．
其中正确的命题是______．

解　根据题意知 $$f(x)=c^x\left[\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1\right],$$ 令 $$g(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1,$$ 则$g(x)$为$\mathcal R$上的单调递减函数，且$g(1)=\dfrac{a+b-c}c>0$．

对于命题(1)，由$x<1$可得$g(x)>g(1)>0$，进而有$f(x)>0$，因此命题成立．
对于命题(2)，由于$g(x)$单调递减，因此当 $$x=\max\left\{{\log_{\frac ac}}\dfrac 12,{\log_{\frac bc}}\dfrac 12\right\}+1$$ 时，有$g(x)<0$，此时$f(x)<0$，$a^x+b^x<c^x$，因此$a^x,b^x,c^x$不是任何一个三角形的三边长．命题成立．
对于命题(3)，由于$g(1)>0$，而 $$g(2)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{a^2}<0,$$ 因此存在$x\in (1,2)$，使得$g(x)=0$，进而$f(x)=0$．命题成立．

综上所述，命题(1)(2)(3)正确．