每日一题[611]见机行事

已知以$T=4$为周期的函数$f(x)=\begin{cases} m\sqrt{1-x^2},x\in (-1,1],\\ 1-|x-2|,x\in (1,3],\end{cases}$其中$m>0$．若方程$3f(x)=x$恰有$5$个实数解，则$m$的取值范围是______．

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分析与解　函数$f(x)$的图象如图所示．
根据题意，直线$y=\dfrac 13x$与$y=m\sqrt{1-(x-4)^2}$相交且与$y=m\sqrt{1-(x-8)^2}$相离．等价于直线$x-3y+4=0$与椭圆$x^2+\dfrac{y^2}{m^2}=1$相交而直线$x-3y+8=0$与椭圆$x^2+\dfrac{y^2}{m^2}=1$相离（可以理解成将坐标原点平移到椭圆的中心，也可以通过换元去理解），借助等效判别式易得

$$\begin{cases} 1+9m^2-16>0,\\ 1+9m^2-64<0,\end{cases}$$ 解得$m$的取值范围是$\left(\dfrac{\sqrt{15}}3,\sqrt 7\right)$．

注　直线$Ax+By+C=0$与椭圆$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$联立的等效判别式

$$\Delta_0=a^2A^2+b^2B^2-C^2,$$ 当$\Delta _0$大于零、等于零、小于零时，对应直线与椭圆相交、相切、相离．读者有兴趣可以自行推导．