每日一题[608]动中有静

已知圆$O:x^2+y^2=4$，$F(0,2)$，点$A,B$是圆$O$上的动点，且$|FA|\cdot |FB|=4$，是否存在与动直线$AB$恒相切的定圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

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分析与解　法一　参数方程
设$A(2\cos 2\alpha,2\sin 2\alpha)$，$B(2\cos 2\beta,2\sin 2\beta)$，则

$$\begin{split} |FA|\cdot |FB|&=\sqrt{(2\cos 2\alpha)^2+(2\sin 2\alpha-2)^2}\cdot \sqrt{(2\cos 2\beta)^2+(2\sin 2\beta-2)^2}\\ &=\sqrt{8-8\sin 2\alpha}\cdot \sqrt{8-8\sin 2\beta}\\ &=8\left|(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)\right|\\ &=8\left|\cos(\alpha-\beta)-\sin(\alpha+\beta)\right|,\end{split}$$ 另一方面，直线$AB$的方程为 $$x\cos(\alpha+\beta)+y\sin(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha-\beta)=0,$$ 因此点$F(0,2)$到直线$AB$的距离为 $$\dfrac{2|\sin(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)|}{\sqrt{\cos^2(\alpha+\beta)+\sin^2(\alpha+\beta)}}=\dfrac 14|FA|\cdot |FB|=1,$$ 为定值，于是定圆$F:x^2+(y-2)^2=1$与动直线$AB$恒相切．

法二　几何性质
设$\angle AFB=\theta$，$FH\perp AB$于$H$，如图：
则$|AB|=2r\sin\dfrac {\angle AOB}2=4\sin\theta$，其中$r=2$为圆$O$的半径，于是$\triangle FAB$的面积

$$S_{\triangle AFB}=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |FH|=2\sin\theta\cdot |FH|,$$ 同时亦有 $$S_{\triangle AFB}=\dfrac 12\cdot \sin\theta\cdot |FA|\cdot |FB|=2\sin\theta,$$ 因此$|FH|=1$为定值，于是定圆$F:x^2+(y-2)^2=1$与动直线$AB$恒相切．