每日一题[594]影子有多长

坐标平面上的点集$S$满足

$$S=\left\{(x,y)\mid {\log_2}(x^2-x+2)=2\sin^4y+2\cos^4y,y\in\left[-\dfrac{\pi}8,\dfrac{\pi}4\right]\right\},$$ 将点集$S$中所有点向$x$轴作投影，所得投影线段的长度之和为_______．

---

分析与解　由于$2\sin^4y+2\cos^4y=2-\sin^22y$，于是$2\sin^4y+2\cos^4y$的取值范围是$\left[1,2\right]$，这样就可得到了

$$1\leqslant {\log_2}(x^2-x+2)\leqslant 2,$$ 即 $$\dfrac 14\leqslant \left(x-\dfrac 12\right)^2\leqslant \dfrac 94,$$ 因此所求的投影线段的长度之和为$2\left(\sqrt{\dfrac 94}-\sqrt{\dfrac 14}\right)=2$．