每日一题[590]椭圆的参数方程

已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，斜率为$1$的直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，点$M(4,0)$，直线$AM$与椭圆$C$交于点$A_1$，直线$BM$与椭圆交于点$B_1$，求证：直线$A_1B_1$恒过定点．

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分析与解　我们先给出一个引理：已知点$P(a\cos 2\alpha,b\sin 2\alpha)$，$Q(a\cos 2\beta,b\sin 2\beta)$在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上，则直线

$$PQ:(1-\tan\alpha\cdot\tan\beta)\cdot \dfrac xa+(\tan\alpha+\tan\beta)\cdot \dfrac yb=1+\tan\alpha\cdot\tan\beta.$$ 本题中，设$A(2\cos 2\alpha,\sqrt 3\sin 2\alpha)$，$B(2\cos 2\beta,\sqrt 3\sin 2\beta)$，$A_1(2\cos 2\alpha_1,\sqrt 3\sin 2\alpha_1)$，$B_1(2\cos 2\beta_1,\sqrt 3\sin 2\beta_1)$，于是直线$AB$的斜率为$1$等价于 $$-\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}=1,\ \text{即} \ \tan(\alpha+\beta)=-\dfrac{\sqrt 3}2.$$ 而直线$AA_1$和直线$BB_1$均过点$M(4,0)$，因此 $$\tan\alpha\cdot\tan\alpha_1=\tan\beta\cdot \tan\beta_1=\dfrac 13.$$ 这样就有 $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{1}{3\tan\alpha_1}+\dfrac{1}{3\tan\beta_1}}{1-\dfrac{1}{3\tan\alpha_1}\cdot\dfrac{1}{3\tan\beta_1}}=-\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 整理得 $$6(\tan\alpha_1+\tan\beta_1)=-9\sqrt 3\tan\alpha_1\cdot \tan\beta_1+\sqrt 3.$$ 考虑到直线$A_1B_1$的方程为 $$(1-\tan\alpha_1\cdot\tan\beta_1)\cdot \dfrac x2+(\tan\alpha_1+\tan\beta_1)\cdot \dfrac y{\sqrt 3}=1+\tan\alpha_1\cdot\tan\beta_1,$$ 即 $$\dfrac{y}{\sqrt 3}(\tan\alpha_1+\tan\beta_1)=\left(1+\dfrac{x}2\right)\tan\alpha_1\cdot \tan\beta_1+1-\dfrac x2,$$ 由 $$\dfrac{y}{\sqrt 3}:6=\left(1+\dfrac x2\right):-9\sqrt 3=\left(1-\dfrac x2\right):\sqrt 3,$$ 解得 $$x=\dfrac 52,y=-\dfrac 32,$$ 因此直线$A_1B_1$恒过点$\left(\dfrac 52,-\dfrac 32\right)$．

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最后给出引理的证明　

直线$PQ$的方程为

$$(a\cos 2\alpha -x)(b\sin2\beta -y)=(b\sin 2\alpha-y)(a\cos2\beta-x),$$ 整理得 $$xb(\sin 2\alpha-\sin 2\beta)+ya(\cos 2\beta-\cos 2\alpha)=ab\sin(2\alpha-2\beta),$$ 和差化积，并约去$2\sin(\alpha-\beta)$，可得 $$\dfrac{x\cos(\alpha+\beta)}a+\dfrac{y\sin(\alpha+\beta)}b=\cos(\alpha-\beta),$$ 和差角公式展开后两边同除以$\cos\alpha\cdot\cos\beta$即得．

由引理可得：已知点$P(a\cos 2\alpha,b\sin 2\alpha)$，$Q(a\cos 2\beta,b\sin 2\beta)$在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上，则

推论$1$　直线$PQ$的斜率为$-\dfrac{b}{a\tan(\alpha+\beta)}$．

推论$2$　直线$PQ$的横截距为$a\cdot \dfrac{1+\tan\alpha\cdot \tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot \tan\beta}$，纵截距为$b\cdot \dfrac{1+\tan\alpha\cdot \tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$．