每日一题[588]代数式的最值

已知$a\sqrt c>2b>0$，则$a^2+\dfrac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt c-2b)}$的最小值是______．

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分析与解　法一　换元看结构

设$a\sqrt c-2b=x$，$2b=y$，则$x,y>0$，且$a\sqrt c=x+y$，于是

$$\begin{split} a^2+\dfrac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt c-2b)}&=\dfrac{(x+y)^2}{c}+\dfrac{8(c^2+1)}{xy}\\ &\geqslant \dfrac{4xy}{c}+\dfrac{16c}{xy}\\ &\geqslant 2\sqrt {\dfrac{4xy}{c}\cdot\dfrac{16c}{xy}}\\ &=16,\end{split}$$ 等号当$x=y=\sqrt 2$，$c=1$，即$a=2\sqrt 2$，$b=\dfrac{\sqrt 2}2$，$c=1$时取得．

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法二　各个击破

考虑到$b$都在分母上，有

$$\dfrac 12\cdot 2b(a\sqrt c-2b)\leqslant \dfrac 12\left(\dfrac {2b+a\sqrt c-2b}{2}\right )^2=\dfrac 18a^2c,$$ 于是 $$\begin{split}a^2+\dfrac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt c-2b)}\geqslant &a^2+\dfrac {32}{a^2}\cdot\dfrac {c^2+1}{c}\\\geqslant &a^2+\dfrac {32}{a^2}\cdot\dfrac {2c}{c}=a^2+\dfrac{64}{a^2}\\\geqslant &2\sqrt{a^2\cdot\dfrac {64}{a^2}}=16.\end{split}$$ 三个等号依次当$b=\dfrac 14a\sqrt c$，$c=1$以及$a=2\sqrt 2$时取到．