每日一题[588]代数式的最值

已知ac>2b>0,则a2+4(c2+1)b(ac2b)的最小值是______.


cover分析与解 法一 换元看结构

ac2b=x2b=y,则x,y>0,且ac=x+y,于是a2+4(c2+1)b(ac2b)=(x+y)2c+8(c2+1)xy4xyc+16cxy24xyc16cxy=16,等号当x=y=2c=1,即a=22b=22c=1时取得.


法二 各个击破

考虑到b都在分母上,有122b(ac2b)12(2b+ac2b2)2=18a2c,于是a2+4(c2+1)b(ac2b)a2+32a2c2+1ca2+32a22cc=a2+64a22a264a2=16.三个等号依次当b=14acc=1以及a=22时取到.

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