已知a√c>2b>0,则a2+4(c2+1)b(a√c−2b)的最小值是______.
设a√c−2b=x,2b=y,则x,y>0,且a√c=x+y,于是a2+4(c2+1)b(a√c−2b)=(x+y)2c+8(c2+1)xy⩾4xyc+16cxy⩾2√4xyc⋅16cxy=16,等号当x=y=√2,c=1,即a=2√2,b=√22,c=1时取得.
法二 各个击破
考虑到b都在分母上,有12⋅2b(a√c−2b)⩽12(2b+a√c−2b2)2=18a2c,于是a2+4(c2+1)b(a√c−2b)⩾a2+32a2⋅c2+1c⩾a2+32a2⋅2cc=a2+64a2⩾2√a2⋅64a2=16.三个等号依次当b=14a√c,c=1以及a=2√2时取到.