每日一题[585]知易行难

已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left(2a_{n+1}-a_n\right)\left(a_{n+1}a_n-1\right)=0\left(n\in\mathcal N^*\right)$，且 $a_1=a_{20}$，则 $a_1$ 的最大值是______．

分析与解　易知$a_{n+1}=\dfrac 12a_n$或$a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}$，为了使得$a_1$尽可能的大，从$a_1$到$a_{20}$的$19$次递推中，前$18$次采用除以$2$，最后一次采用取倒数，此时 $$a_{20}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2^{18}}a_1}=\dfrac{2^{18}}{a_1},$$ 于是$a_1=2^9=512$．

接下来进行严格证明．设这$19$次递推中有$i-1,i\in\mathbb{N}^*$次为取倒数，由题意知$i-1\geqslant 1$，即$i\geqslant 2$．

于是这$19$次递推被取倒数分成了$i$段，设各段中递推（即除以$2$）的次数依次分别为$p_1,p_2,\cdots,p_i$，其中$p_i\in\mathbb{N}$．（如果第一次递推为取倒数，我们认为$p_1=0$．如果最后一次为取倒数，我们认为$p_i=0$．）于是有 $$p_1+p_2+\cdots+p_i+i-1=19.$$ 比如递推中第$3,4,7$次为取倒数，则$i=4,p_1=2,p_2=0,p_3=2,p_4=12$．由题意知 $$a_{20}=\left[2^{-p_1+p_2-p_3+\cdots+(-1)^{i}p_i}\cdot a_1\right ]^{(-1)^{i-1}}.$$
若$i$为奇数，则$p_1+p_2+\cdots+p_i$为奇数，进而$-p_1+p_2-p_3+\cdots+(-1)^{i}p_i$也为奇数，不可能有$a_{20}=2^{-p_1+p_2-p_3+\cdots+(-1)^{i}p_i}\cdot a_1=a_1$；

若$i$为偶数，则$p_1+p_2+\cdots+p_i$为偶数，进而$p_1-p_2+p_3-\cdots-(-1)^{i}p_i$也为偶数，从而有 $$a_{20}=2^{p_1-p_2+p_3-\cdots-(-1)^{i}p_i}\cdot a_1^{-1}=a_1,$$ 从而有 $$a_1^2=2^{p_1-p_2+p_3-\cdots-(-1)^ip_i}\leqslant 2^{p_1+p_2+\cdots+p_i}=2^{20-i}\leqslant 2^{18},$$ 当且仅当$i=2,p_2=0$时取到等号，即仅有最后一次取倒数时$a_1$取到最大值$2^9$．这样就证明了$a_1\leqslant 512$，且要取到等号只能是上面给出的递推方式．

思考与总结　看似简单的题，严格证明起来可能并不简单，需要加强练习表达能力．