每日一题[582]圆上动点

在平面直角坐标系$xOy$中，点$B$为曲线$y=\sqrt{1-x^2}$上的动点，$A(2,0)$，点$C$位于第一象限且$\triangle ABC$为等腰直角三角形，且$A$为直角顶点，则线段$OC$长度的最大值为_______．

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分析与解　可以用平面几何的广义托勒密定理或解析几何的轨迹思想解决．

法一　广义托勒密定理

当四边形$OACB$为凸四边形时，如左图：根据广义托勒密定理，有

$$OC\cdot AB\leqslant OB\cdot AC+OA\cdot BC=AB+2\sqrt 2AB,$$ 于是$OC\leqslant 1+2\sqrt 2$，等号当$O,A,C,B$四点共圆时取得（此时$\angle BOA=135^\circ$），所以在这种情况下$OC$的最大值为$1+2\sqrt 2$．

当四边形$OACB$不是凸四边形时，如右图．有

$$OC\leqslant OB+BC=OB+{\sqrt 2}AC<OB+\sqrt 2{OA}=1+2\sqrt 2.$$ 法二　轨迹

如图，点$C$运动的轨迹是以$D(2,2)$为圆心的半圆弧（考虑$\triangle OAB$绕$A$点顺时针旋转$90^\circ$得到$\triangle DAC$即可），于是$OC$的最大值为$1+2\sqrt 2$．