每日一题[579]慧眼识函数

已知$f(x)$是定义在$\mathbb R$上的可导函数，且对任意的$x>2$，均有$f(x)+2f'(x)<xf'(x)$，设$a=f(3)$，$b=\dfrac 12f(4)$，$c=(\sqrt 5+2)f(\sqrt 5)$，则$a,b,c$从小到大的排列为______．

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分析与解　根据题意，有

$$\forall x>2,\dfrac{(x-2)f'(x)-f(x)}{(x-2)^2}>0,$$ 即在区间$(2,+\infty)$上，有函数$g(x)=\dfrac{f(x)}{x-2}$的导函数$g'(x)>0$，因此函数$g(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增．又$a=g(3)$，$b=g(4)$，$c=g(\sqrt 5)$，而$\sqrt 5<3<4$，因此$c<a<b$，正确的答案是$c,a,b$．