每日一题[560]方程组的解

关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x^2+y^3=29,\\ {\log_3}x\cdot {\log_2}y=1\end{cases}$的不同实数解的组数是______．

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分析与解　题中方程组可以变形为

$$\begin{cases} x^2+y^3=29,\\ {\log_3}x^2\cdot {\log_2}y^3=6,\end{cases}$$ 于是问题可以转化为求关于$x,y$的方程组 $$\begin{cases} x+y=29,\\ \ln x \cdot \ln y=6\ln 2\cdot \ln 3,\end{cases}$$ 的实数解组数，即关于$x$的方程 $$\ln x\cdot \ln (29-x)=6\ln 2\cdot \ln 3$$ 的实数解个数．

显然，有$1<x<28$，令$f(x)=\ln x\cdot \ln (29-x)$($x\in (1,28)$)，则其导函数

$$f'(x)=\dfrac{(29-x)\ln (29-x)-x\ln x}{x(29-x)},1<x<28,$$ 考虑到函数$y= x\ln x$在$(1,28)$上单调递增，于是函数$y=(29-x)\ln (29-x)-x\ln x,1<x<28$单调递减，在区间$(1,28)$上有唯一零点$x=\dfrac {29}2$．因而函数$f(x)$在$\left(1,\dfrac{29}2\right)$上单调递增，在$\left(\dfrac{29}2,28\right)$上单调递减，考虑到 $$f(1)=0,f\left(\dfrac{29}2\right)=\ln ^2\dfrac{29}2> \ln 8\cdot \ln 9=6\ln 2\cdot \ln 3,f(28)=0,$$ 因此关于$x$的方程 $$\ln x\cdot \ln (29-x)=6\ln 2\cdot \ln 3$$ 的实数解个数为$2$．

综上所述，题中方程组的不同实数解的组数为$2$．

注　先将$x$的取值范围加以限定以避开函数$y=x\ln x$的单调递减区间，减少说理的难度．