每日一题[559]削峰填谷

已知函数$f(x)=\begin{cases} ax^2+x,&x\geqslant 0,\\ -ax^2+x,&x<0,\end{cases}$当$x\in\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$时恒有$f(x+a)<f(x)$，则实数$a$的取值范围是________．

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分析与解　显然$a\neq 0$，接下来按$a$和$0$的大小关系分类讨论．

情形一　$a>0$．

此时$f(x)$单调递增，有$f(x+a)>f(x)$，不符合题意．

情形二　$a<0$．
此时函数图象如图所示．

由于不等式$f(x+a)<f(x)$中两个函数值对应的自变量相差为$-a$，因此用弦长为$-a$的线段“削峰填谷”，可得

$$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]\subseteq \left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{-a}2,-\dfrac{1}{2a}+\dfrac{-a}2\right),$$ 即 $$\dfrac{1}{2a}-\dfrac a2<-\dfrac 14,$$ 即$2a^2-a-2<0$，解得$\dfrac{1-\sqrt{17}}4<a<0$．

综上所述，实数$a$的取值范围是$\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}4,0\right)$．

总结　如何在单调性的基础上将不等式$f(x+a)<f(x)$背后的几何意义挖掘出来是解决问题的关键．