已知函数$f(x)=\begin{cases} ax^2+x,&x\geqslant 0,\\ -ax^2+x,&x<0,\end{cases} $当$x\in\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$时恒有$f(x+a)<f(x)$，则实数$a$的取值范围是________．
分析与解 显然$a\neq 0$，接下来按$a$和$0$的大小关系分类讨论．
情形一 $a>0$．
此时$f(x)$单调递增，有$f(x+a)>f(x)$，不符合题意．
情形二 $a<0$．
此时函数图象如图所示．
由于不等式$f(x+a)<f(x)$中两个函数值对应的自变量相差为$-a$，因此用弦长为$-a$的线段“削峰填谷”，可得$$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]\subseteq \left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{-a}2,-\dfrac{1}{2a}+\dfrac{-a}2\right),$$即$$\dfrac{1}{2a}-\dfrac a2<-\dfrac 14,$$即$2a^2-a-2<0$，解得$\dfrac{1-\sqrt{17}}4<a<0$．
综上所述，实数$a$的取值范围是$\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}4,0\right)$．
总结 如何在单调性的基础上将不等式$f(x+a)<f(x)$背后的几何意义挖掘出来是解决问题的关键．