每日一题[554]函数方程

已知函数$f(x)=x^2-2x+c$，若$\{x\mid f(x)=x\}=\{x\mid f(f(x))=x\}$，求实数$c$的取值范围．

分析与解　 因为方程$f(x)=x$的解一定是方程$f(f(x))=x$的解，所以$f(f(x))-x$一定有因式$f(x)-x$，于是我们可以尝试对$f(f(x))-x$进行因式分解．

方程$f(f(x))=x$即 $$f^2(x)-2f(x)+c=x,$$ 也即 $$f^2(x)-x^2-2f(x)+2x+c-c=x-f(x),$$ 整理得 $$[f(x)-x]\cdot [f(x)+x-1]=0,$$ 根据题意，方程$f(x)+x-1=0$或者无实数根，或者与方程$f(x)=x$的根一致，也即 $$\Delta=5-4c<0 \lor f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,$$ 解得$c\geqslant \dfrac 54$，因此实数$c$的取值范围是$\left[\dfrac 54,+\infty\right)$．

注　“$\lor$”表示“或”．