已知存在唯一的实数对(p,q),使不等式|√r2−x2−px−q|⩽(其中r,t>0)对任意的x\in [0,r]恒成立,则\dfrac tr=______ .
分析与解 根据题意,有\forall x\in [0,r],px+q-t\leqslant \sqrt{r^2-x^2}\leqslant px+q+t,这就意味着四分之一圆弧x^2+y^2=r^2(x,y\geqslant 0)夹在两条平行直线之间,而t控制这两条直线的截距之差,如图.显然,当t=\left(\dfrac{\sqrt 2}2-\dfrac 12\right)r时(此时t最小),实数对(p,q)是唯一的(否则就有调整的空间).因此所求的\dfrac tr=\dfrac{\sqrt 2-1}2.
华科有道实验班选拔题似乎就是这个。