每日一题[550]动弹不得

已知存在唯一的实数对$(p,q)$，使不等式$\left|\sqrt{r^2-x^2}-px-q\right|\leqslant t$(其中$r,t>0$)对任意的$x\in [0,r]$恒成立，则$\dfrac tr=$______ ．

分析与解　根据题意，有

$$\forall x\in [0,r],px+q-t\leqslant \sqrt{r^2-x^2}\leqslant px+q+t,$$ 这就意味着四分之一圆弧$x^2+y^2=r^2$($x,y\geqslant 0$)夹在两条平行直线之间，而$t$控制这两条直线的截距之差，如图．
显然，当$t=\left(\dfrac{\sqrt 2}2-\dfrac 12\right)r$时(此时$t$最小)，实数对$(p,q)$是唯一的(否则就有调整的空间)．因此所求的$\dfrac tr=\dfrac{\sqrt 2-1}2$．