每日一题[545]曲线救国

若对任意$x\in [-2,1]$，均有$ax^3-x^2+4x+3\geqslant 0$，则$a$的取值范围是_______．

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分离变量    原命题等价于

$$\begin{cases} \forall x\in (0,1],a\geqslant -\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac 1x,\\ \forall x \in [-2,0),a\leqslant -\dfrac{3}{x^3}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac 1x,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} \forall x \geqslant 1,a\geqslant -3x^3-4x^2+x,\\ \forall x\leqslant -\dfrac 12,a\leqslant -3x^3-4x^2+x.\end{cases}$$ 记函数$f(x)=-3x^3-4x^2+x$，则其导函数 $$f'(x)=-(9x-1)(x+1),$$ 于是函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上的最大值为$f(1)=-6$；函数$f(x)$在$\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$上的最小值为$f(-1)=-2$．因此$a$的取值范围是$[-6,-2]$．

若不分离变量，那么应该怎样处理呢？

不分离变量    设$f(x)=ax^3-x^2+4x+3$，则由

$$\begin{cases} f(-2)=-8a-9\geqslant 0,\\ f(1)=a+6\geqslant 0,\end{cases}$$ 解得 $$-6\leqslant a\leqslant -\dfrac 98.$$ 考虑函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=3ax^2-2x+4,$$ 可得$f'(x)$在区间$[-2,1]$上存在两个不同零点，因此只需要这两个极值点处满足不等式即符合题意．记极值点为$m$，则 $$3am^2-2m+4=0,$$ 于是 $$\begin{split} 3f(m)&=3am^3-3m^2+12m+9\\ &=(2m^2-4m)-3m^2+12m+9 \\ &=(9-m)(m+1),\end{split}$$ 因此只需要$m\geqslant -1$，也即 $$f'(-1)=3a+6\leqslant 0,$$ 从而$a\leqslant -2$．

综上所述，$a$的取值范围是$[-6,-2]$．

注    在处理不等式时，将判断$a$转化为判断$m$是解决问题的关键．