已知$f(x)=x^3-x$,关于$x$的方程$f(x)=-\dfrac 13t$在$[-1,t]$上有且只有一个实根,则$t$的取值范围是_______.
分析 利用直线$y=-\dfrac 13x$建立动区间$[-1,t]$和动直线$y=-\dfrac 13t$之间的联系,然后计算临界点,分段讨论.
解 如图,设直线$y=-\dfrac 13x$与函数$f(x)=x^3-x$的图象交于$A,O,B$三点,与函数$y=f(x)$的水平切线交于$M,N$两点.不难计算得$A\left(-\dfrac{\sqrt 6}3,\dfrac{\sqrt 6}9\right)$,$B\left(\dfrac{\sqrt 6}3,-\dfrac{\sqrt 6}9\right)$,$M\left(-\dfrac{2\sqrt 3}3,\dfrac{2\sqrt 3}9\right)$,$N\left(\dfrac{2\sqrt 3}3,\dfrac{2\sqrt 3}9\right)$.
利用图象可知:
1、当$-1<t<-\dfrac{\sqrt 6}3$时,方程没有实根;
2、当$-\dfrac{\sqrt 6}3\leqslant t<0$时,方程有$1$个实根;
3、当$t=0$时,方程有$2$个实根;
4、当$0<t<\dfrac{\sqrt 6}3$时,方程有$1$个实根;
5、当$\dfrac{\sqrt 6}3\leqslant t<\dfrac{2\sqrt 3}3$时,方程有$2$个实根;
6、当$t=\dfrac{2\sqrt 3}3$时,方程有$1$个实根;
7、当$t>\dfrac{2\sqrt 3}3$时,方程没有实根.
综上所述,$t$的取值范围是$\left[-\dfrac{\sqrt 6}3,0\right)\cup\left(0,\dfrac{\sqrt 6}3\right)\cup\left\{\dfrac{2\sqrt 3}3\right\}$.