每日一题[544]联动装置

已知$f(x)=x^3-x$，关于$x$的方程$f(x)=-\dfrac 13t$在$[-1,t]$上有且只有一个实根，则$t$的取值范围是_______．

分析    利用直线$y=-\dfrac 13x$建立动区间$[-1,t]$和动直线$y=-\dfrac 13t$之间的联系，然后计算临界点，分段讨论．

解    如图，设直线$y=-\dfrac 13x$与函数$f(x)=x^3-x$的图象交于$A,O,B$三点，与函数$y=f(x)$的水平切线交于$M,N$两点．不难计算得$A\left(-\dfrac{\sqrt 6}3,\dfrac{\sqrt 6}9\right)$，$B\left(\dfrac{\sqrt 6}3,-\dfrac{\sqrt 6}9\right)$，$M\left(-\dfrac{2\sqrt 3}3,\dfrac{2\sqrt 3}9\right)$，$N\left(\dfrac{2\sqrt 3}3,\dfrac{2\sqrt 3}9\right)$．

利用图象可知：

1、当$-1<t<-\dfrac{\sqrt 6}3$时，方程没有实根；

2、当$-\dfrac{\sqrt 6}3\leqslant t<0$时，方程有$1$个实根；

3、当$t=0$时，方程有$2$个实根；

4、当$0<t<\dfrac{\sqrt 6}3$时，方程有$1$个实根；

5、当$\dfrac{\sqrt 6}3\leqslant t<\dfrac{2\sqrt 3}3$时，方程有$2$个实根；

6、当$t=\dfrac{2\sqrt 3}3$时，方程有$1$个实根；

7、当$t>\dfrac{2\sqrt 3}3$时，方程没有实根．

综上所述，$t$的取值范围是$\left[-\dfrac{\sqrt 6}3,0\right)\cup\left(0,\dfrac{\sqrt 6}3\right)\cup\left\{\dfrac{2\sqrt 3}3\right\}$．