每日一题[541]常数变易

设$a_1=1$，$a_2=8$，$a_{n+1}=a_{n-1}+\dfrac 4na_n$($n=2,3,\cdots$)．

（1）证明：存在$c>0$，使得$a_n\leqslant cn^2$($n=1,2,\cdots$)；

（2）证明：$\forall n\in \mathcal N^*,a_{n+1}-a_n\leqslant 4n+3$．

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分析与解    （1）考虑递推证明，若当$n=1,2,\cdots ,k$时，均有$a_n\leqslant cn^2$，则对第$k+1$项，有

$$a_{k+1}\leqslant c(k-1)^2+\dfrac 4k\cdot ck^2=c(k+1)^2,$$ 这就意味着只需要选择合适的$c$，使其满足归纳基础即可．考虑到$a_2=8$，因此可以取$c=2$，有 $$\forall n\in\mathcal N^*,a_n\leqslant 2n^2.$$

（2）将第（1）小题中的常数$c$变易为$b_n$，即令$a_n=b_n\cdot n^2$，则根据第（1）小题的结果，有$b_n\leqslant 2$．

另一方面，有

$$(n+1)^2b_{n+1}=(n-1)^2b_{n-1}+[(n+1)^2-(n-1)^2]b_n,$$ 整理得 $$\dfrac{b_{n+1}-b_n}{b_n-b_{n-1}}=-\dfrac{(n-1)^2}{(n+1)^2},$$ 从而 $$b_{n+1}-b_n=(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2},$$ 于是 $$\begin{split} a_{n+1}-a_n&=(n+1)^2b_{n+1}-n^2b_n\\& =n^2(b_{n+1}-b_n)+(2n+1)b_{n+1}\\&\leqslant n^2\cdot (-1)^{n-1}\cdot \dfrac{4}{n^2(n+1)^2}+(2n+1)\cdot 2\\ &\leqslant 4n+3,\end{split}$$ 因此原命题得证．