每日一题[517]梅开三度

已知点$F$是椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$的左焦点，直线$AB$经过$F$且与椭圆交于$A,B$两点．若$O$为坐标原点，$\triangle AOB$的面积是$\dfrac 92$，求直线$AB$的斜率$k$．

解法一    设$AB:x=my-4$，则

$$\dfrac{1}{25}(my-4)^2+\dfrac 19y^2=1,$$ 从而 $$\left(\dfrac{m^2}{25}+\dfrac 19\right)y^2-\dfrac{8m}{25}y-\dfrac{9}{25}=0,$$ 从而 $$S_{\triangle AOB}=\dfrac 12\cdot 4\cdot \dfrac{1}{\dfrac{m^2}{25}+\dfrac 19}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{8m}{25}\right)^2-4\left(\dfrac{m^2}{25}+\dfrac 19\right)\cdot \left(-\dfrac{9}{25}\right)}=\dfrac 92,$$ 整理得 $$81m^4-1150m^2-975=0,$$ 于是 $$(m^2-15)(81m^2+65)=0,$$ 因此直线$AB$的斜率$k=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．

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解法二    设$\angle BFO=\theta$，则

$$S_{\triangle AOB}=\dfrac 12 \cdot 4\cdot \left(\dfrac{9}{5-4\cos\theta}+\dfrac{9}{5+4\cos\theta}\right)\cdot \sin\theta =\dfrac 92,$$ 整理得 $$40\sin\theta =25-16\cos^2\theta,$$ 即 $$(4\sin\theta -1)(4\sin\theta-9)=0,$$ 因此$\sin\theta=\dfrac 14$，从而直线$AB$的斜率$k=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．

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解法三    利用仿射变换

$$x'=x,y'=\dfrac 53y,$$ 将椭圆变成圆$x'^2+y'^2=25$，则 $$S_{\triangle A'OB'}=\dfrac 92\cdot \dfrac 53=\dfrac{15}2.$$

设$O$到直线$A'B'$的距离为$OH$，则

$$\dfrac 12\cdot 2\sqrt{25-OH^2}\cdot OH=\dfrac{15}2,$$ 即 $$OH^2(25-OH^2)=\dfrac{225}{4},$$ 于是$OH^2=\dfrac 52$，从而 $$\sin\angle B'F'O=\sqrt{\dfrac{5}{32}},$$ 从而 $$\tan\angle B'F'O=\pm \sqrt{\dfrac{5}{27}},$$ 因此所求直线的斜率$k=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．