每日一题[507]反客为主

已知$x-4\sqrt y=2\sqrt{x-y}$，则$x$的取值范围是_______．

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分析    观察题目，可以发现$2\sqrt{x-y}+4\sqrt y=x$，而左边可以看成是向量$(2,4)$与向量$(\sqrt{x-y},\sqrt y)$的数量积，且后者的模为$x$．以此为突破口，视$y$为变量建立不等关系．

解    显然$x=0$时符合题意；

当$x>0$时，考虑到向量$(\sqrt{x-y},\sqrt y)$的模为定值$\sqrt x$，因此以原点为起点，向量$(\sqrt{x-y},\sqrt y)$的终点是以原点为圆心，$\sqrt x$为半径的圆在第一象限的部分（再加上弧的两个端点）．

不难得到数量积

$$(2,4)\cdot (\sqrt{x-y},\sqrt y)$$ 的取值范围是 $$(2,4)\cdot (\sqrt x,0)\leqslant (2,4)\cdot (\sqrt{x-y},\sqrt y)\leqslant \sqrt x\cdot\sqrt {20},$$ 这样就建立了不等式 $$2\sqrt x\leqslant x\leqslant \sqrt{20x},$$ 解得 $$4\leqslant x\leqslant 20.$$

综上所述，$x$的取值范围是$\{0\}\cup [4,20]$．