每日一题[69] 抽象函数

已知函数\(f(x)\)的定义域为\(\mathcal R\)，且满足：

① \(f(1)=2\)；

② \(\forall x,y\in\mathcal R,f(x+y+1)=f(x-y+1)-f(x)f(y)\)；

③ \(f(x)\)在区间\([0,1]\)上单调递增．

（1）求\(f(0)\)，\(f(-1)\)；

（2）求\(f(x)\)的零点；

（3）解不等式：\(f(x)>1\)．

（1）解    在②中，令\(x=1\)得\[f(y+2)=f(2-y)-2f(y),\]令\(y=1\)得\[f(x+2)=-f(x),\]于是可得\[f(x+2)=-f(x),f(-x)=-f(x).\]

由此可得\(f(0)=0\)，\(f(-1)=-2\)．

（2）解    由函数\(f(x)\)为奇函数，且为类周期函数，结合③有函数的草图如下：

因此函数\(f(x)\)的零点为\(x=2k,k\in\mathcal Z\)．

（3）解    令\(y=-x\)有\[f(2x+1)+f^2(x)=2,\]设\(f(m)=1,m\in (0,1)\)，则\[f(2m+1)=1.\]

于是由函数的周期性与单调性，有\[2m+1=m+4k\lor 2m+1=2-m+4k,\]其中\(k\in\mathcal Z\)．

不难解得\[m=\dfrac 13.\]

因此所求不等式的解为\[\bigcup_{k\in\mathcal Z}\left(\dfrac 13+4k,\dfrac 53+4k\right),k\in\mathcal Z.\]