求证：$\ln 2<\lg 5$．
证明 先利用换底公式统一底，原不等式等价于$$\ln 2<\dfrac{\ln 5}{\ln 2+\ln 5},$$即$$\ln^2{2}+\ln 2\cdot \ln 5<\ln 5.$$若考虑用$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)$$对$\ln 2$和$\ln 5$进行估算，则需要分别令$x=\dfrac 13$和$x=\dfrac 23$．出于对后者的收敛速度不满，令$x=\ln 2$，$y=\ln\dfrac 54=\ln 5-2\ln2$，则只需要证明$$x^2+x(2x+y)<2x+y,$$即$$y>\dfrac{3x^2-2x}{1-x},$$设$RHS=\varphi (x)$，则$\varphi (x)$在$x\in\left(\dfrac 12,1\right)$上单调递增，因此只需要估计$x$的上界以及$y$的下界．
对于$x$的上界，由于\[\begin{split} \ln\dfrac{1+x}{1-x}&=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)\\ &<2\left[x+\dfrac 13(x^3+x^5+\cdots )\right] \\ & <2\left[x+\dfrac{x^3}{3(1-x^2)}\right],\end{split} \]令$x=\dfrac 13$，可得$\ln 2<\dfrac{25}{36}$．
对于$y$的下界，由于$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)>2x,$$令$x=\dfrac 19$，可得$\ln\dfrac 54>\dfrac 29$．
事实上，我们有$$\varphi (x)<\varphi \left(\dfrac {25}{36}\right)=\dfrac 19\cdot \dfrac{75}{44}<\dfrac 29<\ln\dfrac 54=y,$$因此原命题得证．
注 $\ln 2\approx 0.69315$，而$\lg 5\approx 0.69897$，两者非常接近．