每日一题[505]偷梁换柱

求证：$\ln 2<\lg 5$．

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证明    先利用换底公式统一底，原不等式等价于

$$\ln 2<\dfrac{\ln 5}{\ln 2+\ln 5},$$ 即 $$\ln^2{2}+\ln 2\cdot \ln 5<\ln 5.$$ 若考虑用 $$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)$$ 对$\ln 2$和$\ln 5$进行估算，则需要分别令$x=\dfrac 13$和$x=\dfrac 23$．出于对后者的收敛速度不满，令$x=\ln 2$，$y=\ln\dfrac 54=\ln 5-2\ln2$，则只需要证明 $$x^2+x(2x+y)<2x+y,$$ 即 $$y>\dfrac{3x^2-2x}{1-x},$$ 设$RHS=\varphi (x)$，则$\varphi (x)$在$x\in\left(\dfrac 12,1\right)$上单调递增，因此只需要估计$x$的上界以及$y$的下界．

对于$x$的上界，由于

$$\begin{split} \ln\dfrac{1+x}{1-x}&=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)\\ &<2\left[x+\dfrac 13(x^3+x^5+\cdots )\right] \\ & <2\left[x+\dfrac{x^3}{3(1-x^2)}\right],\end{split}$$ 令$x=\dfrac 13$，可得$\ln 2<\dfrac{25}{36}$．

对于$y$的下界，由于

$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}=2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5+\cdots \right)>2x,$$ 令$x=\dfrac 19$，可得$\ln\dfrac 54>\dfrac 29$．

事实上，我们有

$$\varphi (x)<\varphi \left(\dfrac {25}{36}\right)=\dfrac 19\cdot \dfrac{75}{44}<\dfrac 29<\ln\dfrac 54=y,$$ 因此原命题得证．

注    $\ln 2\approx 0.69315$，而$\lg 5\approx 0.69897$，两者非常接近．