每日一题[494]滑动的线段

已知两条直线 $l_1,l_2$ 相交于点 $O$ ，点 $A$ 在直线 $l_1$ 上运动，点 $B$ 在直线 $l_2$ 上运动，且线段 $AB$ 的长为定值 $2m$ ，求 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹．

解如图建系，设 $l_1,l_2$ 的夹角为 $2\theta$ ， $k=\tan\theta$ ，直线 $OA$ 和直线 $OB$ 的方程分别为 $y=kx$ 和 $y=-kx$ ．

设 $A(a,ka)$ ， $B(b,-kb)$ ， $M(x,y)$ ，则

2 x = a + b, 2 y = k (a - b),

$2x=a+b,2y=k(a-b),$ 代入

(a - b)^{2} + k^{2} (a + b)^{2} = (2 m)^{2}

$(a-b)^2+k^2(a+b)^2=(2m)^2$ 中，可得

\frac{4 y^{2}}{k^{2}} + 4 k^{2} x^{2} = 4 m^{2},

$\dfrac{4y^2}{k^2}+4k^2x^2=4m^2,$ 即

k^{2} x^{2} + \frac{y^{2}}{k^{2}} = m^{2} .

$k^2x^2+\dfrac{y^2}{k^2}=m^2.$

下面留一组练习．

1、若 $OA+OB$ 为定值，求 $AB$ 的中点的轨迹．

2、若三角形 $OAB$ 的面积为定值，求 $AB$ 的中点的轨迹．

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